等差数列：揭秘其通项与求和公式

在数学领域中，等差数列是一种重要的基本概念，它具有整齐的规律性和广泛的应用性。本文将深入探讨等差数列的基本性质、通项公式以及求和公式，并辅以具体的例子和应用场景进行说明。

什么是等差数列？

等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项之间的差都相等的数列。用符号表示为 ( a_{n+1} - a_n = d )，其中 ( d ) 是常数，称为等差数列的公差。例如，数列 {2, 5, 8, 11, ...} 和 {-3, -6, -9, -12, ...} 都是等差数列，它们的公差分别是 3 和 3。

等差数列的通项公式

为了找到等差数列的第 n 项的一般表达式，即通项公式，我们可以使用以下方法： 设等差数列为 ( {a_n} )，公差为 ( d )，首项（第一项）为 ( a_1 )。那么第 n 项 ( a_n ) 的通项公式是： [ a_n = a_1 + (n - 1)d ] 这个公式表明，只需要知道等差数列的首项和公差，就可以通过简单的代入运算找到任意一项。

等差数列的前 n 项的和

对于给定的等差数列 ( {a_n} )，我们需要计算前 n 项的总和 ( S_n )。这可以通过考虑所有相邻两项之和的方法来解决。我们知道相邻两项之差是固定的，所以我们可以构建一个新的等差数列，这个新数列就是原数列的两倍减去第一个公差。然后我们用新的数列的前半部分减去后半部分，得到的结果就是原数列的前 n 项之和的一半。最后我们将结果乘以 2 就得到了总和。

具体来说，令 ( b_0 = 2a_1 )，( b_n = 2a_n )，则有 ( b_{n+1} - b_n = 2d )。现在我们计算 ( S_b )，即数列 ( {b_n} ) 的前 n 项之和。由于 ( b_0 ) 是 ( b_1 ) 的两倍，我们有 ( S_b = 2S_a + b_0 )。但是我们已经知道 ( S_a ) 是原数列 ( {a_n} ) 的和，所以我们可以将其替换成 ( Sn = \frac{(a_1 + a_n)}{2} \times n )。这样我们就得到了等差数列 ( {a_n} ) 的前 n 项之和的公式： [ S_n = \frac{(a_1 + a_n)}{2} \times n ]

应用举例

案例一：工资增长问题

假设某公司员工的月薪按每年固定比例 p% 增长，且年初员工的月薪为 A 元，试用等差数列的知识推导出员工在第 n 年年末的月薪。

这个问题可以用等差数列的通项公式解决。如果每年的增长率 p% 对应到等差数列中的公差 ( d )，那么我们可以将年增长率转化为月增长率 ( g )，因为一年有 12 个月，所以 ( g = \frac{p}{12} \%)。

现在我们可以定义等差数列的各项为每个月底的工资，首项 ( a_1 ) 为年初的月薪 A 元，公差 ( d = gA )。根据这些信息，我们可以写出通项公式： [ a_n = a_1 + (n - 1)d ]

将上述表达式中的 ( a_1 ) 和 ( d ) 分别用 A 和 gA 代替，我们得到： [ a_n = A + (n - 1)(gA) ]

这就是员工在第 n 年年末的月薪的通用表达式。

案例二：等差数列求和

已知数列 ( {a_n} ) 是一个等差数列，其中 ( a_1 = 3 )，( a_4 = 7 )，求数列的前 10 项之和。

首先，我们利用等差数列的通项公式确定公差 ( d ): [ a_4 = a_1 + (4 - 1)d \ 7 = 3 + 3d \ 3d = 7 - 3 \ d = \frac{4}{3} ]

接着，我们运用等差数列的前 n 项和公式计算前 10 项之和： [ S_{10} = \frac{(a_1 + a_{10})}{2} \times 10 \ = \frac{(3 + a_{10})}{2} \times 10 \ = \frac{(3 + (10 - 1)\frac{4}{3})}{2} \times 10 \ = \frac{\left(\frac{23}{3}\right)}{2} \times 10 \ = \frac{230}{3} \ = \frac{230}{3} \times \text{元} ]

因此，数列 ( {a_n} ) 的前 10 项之和是 ( \frac{230}{3} ) 元。